Aprovecho esta entrada para enumerar las distintas propiedades que tienen las razones trigonométricas y las usaré para demostrar algunas identidades trigonométricas.
Las más básicas que hay que saber son $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$, la identidad fundamental de la trigonometría $\sin^2 x+\cos ^2x=1$, y de que ésta, se obtiene: $1+\tan^2x=\dfrac{1}{\cos^2x}$. Cualquier duda sobre los conceptos básicos de la trigonométria podéis consultarlos los apuntes de trigonometría de 1ºBachillerato de Ciencias que se encuentran en MaTeX. Son buenísimos. En caso de que surgan dudas, por favor escribir aquí.
Razones trigonométricas de suma y resta de ángulos.
- $\sin (x\pm y)=\sin x\cdot \cos y \pm \sin y\cdot \cos x$
- $\cos (x\pm y)=\cos x\cdot \cos y \mp \sin x\cdot \sin y$
- $\tan(x\pm y)=\dfrac{\tan x\pm\tan y}{1-\tan x\cdot \tan y}$
Razones trigonométricas del ángulo doble.
- $\sin(2x)=2\cdot \sin x\cdot \cos x$
- $\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x$
- $\tan(2)=\dfrac{2\tan x}{1-\tan^2x}$
Razones trigonométricas del ángulo mitad.
- $\sin\left (\dfrac x 2\right )=\pm\sqrt{\dfrac{1-\cos x}{2}}$
- $\cos\left (\dfrac x 2\right )=\pm\sqrt{\dfrac{1+\cos x}{2}}$
- $\tan\left (\dfrac x 2\right )=\pm\sqrt{\dfrac{1-\cos x}{1+\cos x}}$
Suma y diferencia de senos.
- $\sin x+\sin y=2\sin\left (\dfrac{x+y}{2}\right )\cdot \cos\left (\dfrac{x-y}{2}\right )$
- $\sin x-\sin y=2\cos\left (\dfrac{x+y}{2}\right )\cdot \sin\left (\dfrac{x-y}{2}\right )$
Suma y diferencia de cosenos.
- $\cos x+\cos y=2\cos\left (\dfrac{x+y}{2}\right )\cdot \cos\left (\dfrac{x-y}{2}\right )$
- $\cos x-\cos y=-2\sin\left (\dfrac{x+y}{2}\right )\cdot \sin\left (\dfrac{x-y}{2}\right )$
Ejemplos. Demostrar las siguientes identidades trigonométricas:
1. $\dfrac{\cos(x+y)+\cos(x-y)}{\sin(x+y)+\sin(x-y)}= \dfrac{1}{\tan x}$ 2. $\dfrac{2\sin x-\sin(2x)}{2\sin x-\sin(2x)}=\tan^2\left (\dfrac x 2\right )$
3. $2\tan x+\sin^2\left (\dfrac x 2\right )+\sin x=\tan x$ 4. $\sin(x+y)\cdot \sin(x-y)=\sin^2x-\sin^2 y$
5. $\cos(x+y)\cdot \cos(x-y)=\cos^2x-\sin^ 2 y$ 6. $\sin^2\left (\dfrac{x+y}{2}\right )-\sin^2\left (\dfrac{x-y}{2}\right )=\sin x\cdot \sin y$
7. $\cos^2\left (\dfrac{x-y}{2}\right )-\cos^2\left (\dfrac{x+y}{2}\right )=\sin x\cdot \sin y$ 8. $\cos x=\dfrac{1-\tan^2\left (\dfrac x 2\right )}{1+\tan^2\left (\dfrac x 2\right )}$
9. $2\tan x\cdot \cos^2\left (\dfrac x 2\right )-\sin x=\tan x$ 10. $\cos^4 x-\sin^4 x=2\cos^2 x-1$
11. $\dfrac{\sin(x+y)}{\sin(x-y)}=\dfrac{\tan x+\tan y}{\tan x-\tan y}$
9. $2\tan x\cdot \cos^2\left (\dfrac x 2\right )-\sin x=\tan x$ 10. $\cos^4 x-\sin^4 x=2\cos^2 x-1$
11. $\dfrac{\sin(x+y)}{\sin(x-y)}=\dfrac{\tan x+\tan y}{\tan x-\tan y}$
La idea para resolver estos ejercicios es o bien desarrollar unos de los miembros y comprobar que da el otro, o bien, desarrollar los dos miembros hasta que no se pueda simplificar más y comprobar que da el mismo resultado.
Solución:
1. Desarrollamos el numerador:
$\cos(x+y)+ \cos(x-y)=\cos x\cdot \cos y-\sin x\cdot \sin y+\cos x\cdot \cos y+\sin x\cdot \sin y=2\cos x\cos y$
Desarrollando el denominador tenemos:
$\sin(x+y)+\sin(x-y)=\sin x\cdot \cos y+\sin y\cos x+\sin x\cdot \cos y-\sin y\cos x=2\sin x\cos y$
Por tanto, $\dfrac{\cos(x+y)+\cos(x-y)}{\sin(x+y)+\sin(x-y)}= \dfrac{2\cos x\cos y}{2\sin x \cos y}=\dfrac{\cos x}{\sin x}=\dfrac{1}{\tan x}$, ya que $\dfrac{1}{\tan x}=\dfrac{1}{\dfrac{\sin x}{\cos x}}=\dfrac{\cos x}{\sin x}$.
2. Desarrollando el numerador:
$2\sin x-\sin(2x)=2\sin x-2\sin x\cdot \cos x=2\sin x(1-\cos x)$
Desarrollando el denominador:
$2\sin x+\sin(2x)=2\sin x+2\sin x\cdot \cos x=2\sin x(1+\cos x)$
Finalmente queda: $\dfrac{2\sin x-\sin(2x)}{2\sin x-\sin(2x)}=\dfrac{2\sin x(1-\cos x)}{2\sin x(1+\cos x)}=\dfrac{1-\cos x}{1+\cos x}$ (1)
Arriba hemos visto que $\tan\left (\dfrac x 2\right )=\pm\sqrt{\dfrac{1-\cos x}{1+\cos x}}$, que si elevamos al cuadrado, obtenemos, $\tan^2\left (\dfrac x 2\right )=\dfrac{1-\cos x}{1+\cos x}$, que es justamente lo que se tiene en (1). Por tanto, ya queda demostrado.
3. Al igual que hemos hecho con la tangente del ángulo mitad, podemos hacer lo propio con el seno del ángulo mitad, quedando $\sin^2\left (\dfrac x 2\right )=\dfrac{1-\cos x}{2}$. Desarrollamos el primer miembro:
$2\tan x\cdot \sin^2\left (\dfrac x 2\right )+\sin x=2\cdot \dfrac{\sin x}{\cos x}\cdot \dfrac{1-\cos x}{2}+\sin x=\dfrac{\sin x(1-\cos x)}{\cos x}+\sin x=\dfrac{\sin x-\sin x\cdot \cos x+\sin x\cdot \cos x}{\cos x}=\dfrac{\sin x}{\cos x}=\tan x$
4. Empecemos por el primer miembro. Lo que vamos a hacer, para que no nos perdamos en los cálculos, es en primer lugar desarrollar el seno de la suma y diferencia de ángulos. Una vez hecho esto, se observará que al multiplicarlo tenemos los dos binomios pero cambiado de signo, esto es, $(a+b)(a-b)$ y usaremos esa identidad notable:
$\sin(x+y)\cdot \sin(x-y)=\left (\sin x\cos y+\sin y\cos x\right )\cdot \left (\sin x\cos y-\sin y\cos x\right )=\sin^2x\cdot \cos ^2y-\sin^2y\cdot \cos^2x$
¿Y ahora qué hacemos? Debido a que en el segundo miembro aparecen solo senos, entonces usando la identidad $\sin^2 x+\cos^2x=1$, tendremos:
$\sin(x+y)\cdot \sin(x-y)=\sin^2x\cdot \cos ^2y-\sin^2y\cdot \cos^2x=\sin^2 x\cdot (1-\sin^2y)-\sin^2y\cdot(1-\sin^2x)=\sin^2x-\sin^2x\cdot \sin^2y-\sin^2y+\sin^2y\cdot \sin^2x=\sin^2x-\sin^2y$
5. Desarrollemos el primer miembro usando para ello la fórmula del coseno de la suma y resta de ángulos,y el resultado que obtenemos es una identidad notable: suma por diferencia es la diferencia de cuadrados:
$\cos(x+y)\cdot \cos(x-y)=\left (\cos x\cdot \cos y-\sin x\cdot \sin y\right ) \cdot \left (\cos x\cdot \cos y+\sin x\cdot \sin y\right )=(\cos x\cos y)^2-(\sin x\cdot \sin y)^2=\cos^2x\cdot \cos^2y-\sin^2x\cdot \sin^2 y\ \ \ (3)$
$\cos(x+y)\cdot \cos(x-y)=\left (\cos x\cdot \cos y-\sin x\cdot \sin y\right ) \cdot \left (\cos x\cdot \cos y+\sin x\cdot \sin y\right )=(\cos x\cos y)^2-(\sin x\cdot \sin y)^2=\cos^2x\cdot \cos^2y-\sin^2x\cdot \sin^2 y\ \ \ (3)$
Como queremos que en el segundo miembro esté el $\cos^2x$ y el $\sin ^ 2y$, entonces usamos $\sin^2 x+\cos^2x=1$ a los otros dos factores. Sustituyendo en (3):
$\cos(x+y)\cdot \cos(x-y)=\cdots =\cos^2x\cdot \cos^2y-\sin^2x\cdot \sin^2 y=\cos^2x(1-\sin^2 y)-(1-\cos^2 x)\cdot \sin^2y=\cos^2x-\cos^2x\cdot \sin^2y-\sin^2y+\sin^2y\cdot \cos^2x=\cos^2 x-\sin^2y$
6. Vamos a usar que $\sin^2\left (\dfrac{\alpha}{2}\right )=\dfrac{1-\cos(\alpha)}{2}$. Aplicando esta propiedad para $\alpha =x+y$ en el minuendo y $\alpha =x-y$ en el sustraendo, tenemos:
$\sin^2\left (\dfrac{x+y}{2}\right )-\sin^2\left (\dfrac{x-y}{2}\right )=\dfrac{1-\cos(x+y)}{2}-\dfrac{1-\cos(x-y)}{2}=\dfrac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2}=\dfrac{\cos x\cdot \cos y+\sin x\cdot \sin y-(\cos x\cdot \cos y-\sin x\cdot \sin y)}{2}=$
$=\dfrac{\cos x\cdot\cos y+\sin x\cdot \sin y-\cos x\cdot\cos y+\sin x \cdot \sin y}{2}=\dfrac{2\cdot \sin x\cdot \sin y}{2}=\sin x \cdot \sin y$
7. Al igual que en el ejemplo anterior, pero usando $\cos^2\left (\dfrac \alpha 2\right )=\dfrac{1+\cos \alpha}{2}$, tenemos:
$\cos^2\left (\dfrac{x-y}{2}\right )-\cos^2\left (\dfrac{x+y}{2}\right)=\dfrac{1+\cos(x-y)}{2}-\dfrac{1+\cos(x+y)}{2}=\dfrac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2}=\sin x\cdot \sin y$
8. Veamos qué expresión tiene el numerador:
$\cos^2\left (\dfrac{x-y}{2}\right )-\cos^2\left (\dfrac{x+y}{2}\right)=\dfrac{1+\cos(x-y)}{2}-\dfrac{1+\cos(x+y)}{2}=\dfrac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2}=\sin x\cdot \sin y$
8. Veamos qué expresión tiene el numerador:
$1-\tan^2\left (\dfrac x 2\right )=1-\dfrac{1-\cos x}{1+\cos x}=\dfrac{1+\cos x-(1-\cos x)}{1+\cos x}=\dfrac{2\cos x}{1+\cos x}$
$1+\tan^2\left (\dfrac x 2\right )=1+\dfrac{1-\cos x}{1+\cos x}=\dfrac{1+\cos x+1-\cos x}{1+\cos x}=\dfrac{2}{1+\cos x}$
Por tanto,
$\dfrac{1-\tan^2\left (\dfrac x 2\right )}{1+\tan^2\left (\dfrac x 2\right )}=\dfrac{\dfrac{2\cos x}{1+\cos x}}{\dfrac{2}{1+\cos x}}=\dfrac{2\cos x}{2}=\cos x$
9. Desarrollemos el primer miembro:
$2\cdot \tan x\cdot \cos^2\left (\dfrac x 2\right )-\sin x=2\cdot \dfrac{\sin x}{\cos x}\cdot \dfrac{1+\cos x}{2}-\sin x=\dfrac{\sin x\cdot (1+\cos x)-\sin x\cdot \cos x}{\cos x}=\dfrac{\sin x}{\cos x}=\tan x$
10. Expresemos el primer miembro como una suma por diferencia. Como $\cos^4(x)=(\cos^2(x))^2$ y $\sin^4(x)=(\sin^2(x))^2$:
$\cos^4(x)-\sin^4(x)=\left (\cos^2(x)+\sin^2(x)\right )\cdot \left (\cos^2(x)-\sin^2(x)\right )=1\cdot (\cos^2 x-\sin^2 x)=\cos^2 x-(1-\cos^2 x)=\cos^2 x-1+\cos^2x=2\cos^2x-1$
11. Vamos a desarrollar el segundo miembro:
$\dfrac{\tan x+\tan y}{\tan x-\tan y}=\dfrac{\dfrac{\sin x}{\cos x}+\dfrac{\sin y}{\cos y}}{\dfrac{\sin x}{\cos x}-\dfrac{\sin y}{\cos y}}=\dfrac{\dfrac{\sin x\cdot \cos y+\sin y\cdot \cos x }{\cos x\cdot \cos y }}{\dfrac{\sin x\cdot \cos y-\sin y\cdot \cos x}{\cos x\cdot \cos y}}=\dfrac{\sin(x+y)}{\sin(x-y)}$