Teorema del resto

El teorema del resto dice:

Teorema. Dado $P(x)$ un polinomio y $a\in \mathbb R$. El resto de dividir $P(x)$ entre $x-a$ es $P(a)$. 

Otra variante: el resto de dividir $P(x)$ entre $x+a$ es $P(-a)$.

Un claro ejemplo de aplicación de este teorema puede ser el siguiente:

Halla el valor de $k$ para que el polinomio $P(x)=kx^3+3(k-2)x^2-5kx+8$ sea divisible por $x+2$.

La información que nos da el ejemplo es que $P(x)$ es divisible por $x+2$. Esto quiere decir que el resto de la división es $0$. 

Por otro lado, usando el teorema del resto, se tiene que el resto de la división es $P(-2)$.

Como los dos restos son los mismos, se tiene que $P(-2)=0$. Calculemos $P(-2)$:

$P(-2)=k (-2)^3+3(k-2)(-2)^2-5k(-2)+8=-8k+12(k-2)+10k+8=14k-16$

Si resolvemos $P(-2)=0$ entonces $14k-16=0$, de donde, $k=\dfrac{16}{14}=\dfrac 8 7$.