Solución:
Queremos calcular la integral definida de la función $f(x)=\dfrac{\sqrt x+e^{\sqrt x}}{\sqrt x}$ para todo $x\in I=(0,+\infty)$. Para calcular esta integral indefinida vamos hacer uso de la regla de Barrow que dice que si $F$ es una primitiva de una función continua $f$ en $[a,b]$ con $a,b\in \mathbb R$, $a<b$, entonces
$\displaystyle \int_a^bf(x)\ dx=F(b)-F(a)$ (2)
Así, nuestro ejercicio se reduce al cálculo de una primitiva de $f$ en $I$. Por tanto, $F\in \displaystyle \int \dfrac{\sqrt x+e^{\sqrt x}}{\sqrt x}\ dx$. Observando el integrando de la integral indefinida, nos sugiere un cambio de variable. Este cambio es $t=\sqrt x$. Así, $dt=\dfrac{1}{2\sqrt x}dx$. Despejando $dx$ tenemos que $dx=2\sqrt x dt$ y como $t=\sqrt x$ finalmente, tenemos que $dx=2tdt$. Así, nos queda la integral indefinida:
$\displaystyle \int \dfrac{t+e^t}{t}\cdot 2tdt=\int 2t+2e^t\ dt=t^2+2e^t+C$, $\forall C\in \mathbb R$
Deshaciendo el cambio de variable tenemos que:
$\displaystyle \int \dfrac{\sqrt x+e^{\sqrt x}}{\sqrt x}\ dx=(\sqrt x)^2+2e^{\sqrt x}+C=|x|+2e^{\sqrt x}+C=x+2e^{\sqrt x}+C$, $\forall C\in \mathbb R$
Donde hemos utilizado que $x\in I$ y por tanto, $|x|=x$. Si tomamos $C=0$, tenemos que $F(x)=x+2e^{\sqrt x}$. Así, para obtener el valor de (1) usamos (2) y calculamos el valor de $F(4)$ y de $F(1)$. Sustituyendo y haciendo cálculos obtenemos que $F(4)=4+2e^2$ y $F(1)=1+2e$. Finalmente,
$\displaystyle \int_1^4\dfrac{\sqrt x+e^{\sqrt x}}{\sqrt x}\ dx=F(4)-F(1)=4+2e^2-1-2e=3+2e^2-2e$