Derivadas de funciones inversas

La razón de escribir esta entrada fue cuando un seguidor de Unicoos en Facebook preguntaba cómo calcular la derivada de la función $y=\arcsin(x)$ usando el teorema de la función inversa.

Este teorema dice:

Una función $f:I\subset \mathbb R\to \mathbb R$, que sea uno a uno o bien inyectiva y continua en $I$, derivable en $a\in I$ tal que $f'(a)\neq 0$, entonces $f^{-1}$ es derivable en $b=f(a)$ y además se tiene que $\left (f^{-1}\right )'(b)=\dfrac{1}{f'(f^{-1}(b))}$.

La función $y=\arcsin(x)$ no es más que la función inversa de $y=f(x)=\sin(x)$. Sabemos que la función seno es una función que está definida en todo $\mathbb R$ y es derivable en todo su dominio, siendo $f'(x)=\cos(x)$. Además, es una función $2\pi-$periódica. Por esta última característica de la función seno, ésta no es biyectiva(no es inyectiva) en todo $\mathbb R$, sin embargo, podemos buscar un intervalo, dónde sí lo sea. Pero, ¿cuál es es intervalo que debemos elegir? Pues uno dónde la función sea estrictamente creciente o decreciente. ¿Y por qué con esa característica? Porque toda función que sea continua y estrictamente monótona es inyectiva, que como se observa en el enunciado del teorema, es una condición necesaria para usarlo.

Así que el intervalo que vamos a elegir es $I=\left (-\dfrac \pi 2,\dfrac \pi 2\right )$. La función $f$ es estrictamente creciente en este intervalo ya que $f'(x) =\cos(x)>0$ y además, $f(I)=(-1,1)$. Así, usando el teorema anterior para cada $x\in I$, deducimos que existe $f^{-1}$(que no es más que $\arcsin$) y tiene como dominio $(-1,1)$, es derivable en todo $y=f(x)\in (-1,1)$ y además:


$(f^{-1})'(y)=\dfrac{1}{f'\left (f^{-1}(y)\right )}=\dfrac{1}{\cos(\arcsin(y))}$       (1)

A simple vista, no se le parece en nada a la derivada de la función arcoseno. Sin embargo, hagamos unas cuentas y veamos que sí lo es. Vamos a partir de la identidad fundamental de la trigonometría: $\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)=1$. Tomando $\alpha =\arcsin(y)$, se tiene:

$\cos^2(\arcsin(y))+\sin^2(\arcsin(y))=1$

teniendo en cuenta que $\sin(\arcsin(y))=y$ se tiene que:

$\cos^2(\arcsin(y))+y^2=1$

Despejando $\cos(\arcsin(y))$ obtenemos que $\cos(\arcsin(y))=\pm \sqrt{1-y^2}$. ¿Con qué signo nos quedamos de la raíz? Pues como hemos comentado anteriormente, para cada $y\in (-1,1)$, $\arcsin(y)\in I$ y por tanto, $\cos(\arcsin(y))>0$, de deduce que $\cos(\arcsin(y))=\sqrt{1-y^2}$. Sustituyendo en (1) tenemos, poniendo $f^{-1}(y)=\arcsin(y)$:

$(\arcsin)'(y)=\dfrac{1}{\sqrt{1-y^2}}$     $\forall y\in (-1,1)$ 

Aunque la función arcoseno está definida en $1$ y $-1$, sin embargo, no es derivable en esos puntos. Es una mera comprobación.

Si ahora lo que nos piden es la  derivada de la función $y=\arctan(x)$ usando el mismo procedimiento anterior, pues partimos de la función $f(x)=\tan(x)$ definida en $I=\left (-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right )$ que sabemos que es estrictamente creciente en ese intervalo. Además, $f(I)=\mathbb R$. Por tanto, el dominio de la función arcotangente es $\mathbb R$. Para cada $x\in I$ la función $f$ es derivable y se tiene que  $f'(x)=1+\tan^2(x)>0$,(de aquí deducimos que la función tangente es estrictamente creciente). Así, usando el teorema anterior, se deduce que existe $f^{-1}$(que es la función arcotangente), es derivable en todo $\mathbb R$ y además para cada $y=f(x)\in \mathbb R$:

$(f^{-1})'(y)=\dfrac{1}{f'(f^{-1}(y))}=\dfrac{1}{1+\tan^2(\arctan(y))}=\dfrac{1}{1+y^2}$

ya que $\tan(\arctan(y))=y$.