Ejercicios de polinomios

Ejercicio 1. Busca dos polinomios cuyo máximo común divisor sea $x(x+2)$ y cuyo mínimo común múltiplo sea $x^2(x^2-4)(x+1)$.
Ejercicio 2. ¿Cuántos polinomios $P(x)$ de segundo grado existen verificando: $P(3)=0$, $P(2)=-2$ y $P(1)=-2$

Ejercicio 3. Dados los polinomios $P(x)=x^4-8x^2+4x^3-2x-1$ y $Q(x)=x^2-3x$ expresa la división $P(x):Q(x)$ como:
$$\dfrac{P(x)}{Q(x)}=C(x)+\dfrac{R(x)}{Q(x)}$$
Ejercicio 4. Calcula los valores de $A$, $B$, $C$ y $D$ para que se verifique la igualdad:
$$\dfrac{2x^3+2x^2-8x-2}{x^4-2x^3+x^2-2x}=\dfrac{A}{x-2}+\dfrac{B}{x}+\dfrac{Cx+D}{x^2+1}$$

Para valientes

Como se puede observar son operaciones con fracciones algebraicas más engorrosas pero que con paciencia salen:

a) $\dfrac{\dfrac{9+6x+x^2}{9-x^2}\cdot \dfrac{3x^2-x^3}{3x^2+x^3}}{\dfrac{2x-4}{\dfrac 3 4+\dfrac 2 8}:\dfrac{2x^2-8x+8}{x-2}}=$

b) $\dfrac{x^2+6x+5}{x^2-5x+4}\cdot \dfrac{x-2}{x^2-4}+\dfrac{x^3-2x}{x^2-4x}=$

c)$\dfrac{\left (\dfrac{x^3-6x^2+11x-6}{x^2-9}\cdot \dfrac{x^2+2x-3}{x^2-3x+2}\right ):\dfrac{x^2+x-2}{x^2+4x+4}}{\dfrac{2x^2-2x}{3x^2+3x-6}-\dfrac{3x^2+12x+12}{2x}}=$

Operaciones con fracciones algebraicas

Realiza las siguientes operaciones con fracciones algebraicas. Recuerda que al final es aconsejable simplificar, siempre que se pueda:

a) $\dfrac{5}{x+2}+\dfrac{x}{x+3}-\dfrac 3 2=$

b) $\dfrac 1 x+\dfrac{1}{x^2}-\dfrac 3 4=$

c)$\dfrac{x+3}{x-1}-\dfrac{x^2+1}{x^2-1}-\dfrac{26}{25}=$

d) $\dfrac{x^2-2x+3}{x-2}\cdot \dfrac{2x+3}{x+5}=$

e) $\dfrac{x^2-2x+3}{x-2}:\dfrac{2x+3}{x+5}=$

f)$\dfrac{x+2}{x}:\left (\dfrac{x-1}{3}\cdot \dfrac{x}{2x+1}\right )=$

g)$\left (\dfrac 4 x-x\right):\left (\dfrac 1 x+\dfrac 1 2\right )=$

h)$\left [\left (\dfrac 2 x+\dfrac{1}{x+1}\right ):\left (x-\dfrac{1}{x+1}\right )\right ]\cdot x=$

i)$\left( \dfrac{3}{x^2}+\dfrac{x+2}{x}-\dfrac{x+1}{x-2}\right )\cdot 2x^2=$

Repaso control polinomios y fracciones algebraicas

A continuación pongo ejercicios relacionados con el teorema del resto y del factor.

Ejercicio 1. Busca un polinomio $P(x)$ de grado 3 que verifique las siguientes condiciones:

• $P(x)$ tenga a $-2$ como raíz doble.
• Al dividir $P(x)$ por $x$ da resto $-1$.
• El coeficiente principal de $P(x)$ es $2$.

Solución:

El polinomios $P(x)$ tiene a $-2$ como raíz doble. Esto significa que $-2$ y $-2$ son raíces del polinomio $P(x)$. Por tanto, usando el teorema de factor se obtiene que $P(x)=(x-2)^2Q(x)$ donde $Q(x)$ es un polinomio a determinar. Obviamente el polinomio $(x-2)^2$ tiene grado 2 y como $P(x)$ tiene grado 3, entonces fuerza a que el grado de $Q(x)$ sea 1, por tanto, $Q(x)=ax+b$, donde $a$ y $b$ son números reales que determinaremos a continuación.
Como al dividir el polinomios $P(x)$ entre $x$ (que es lo mismo que $x-0$) da de resto $-1$, entonces usando el teorema del resto junto con esa información, obtenemos que $P(0)=-1$. Sin embargo, como $P(x)=(x-2)^2(ax+b)$ tenemos que $P(0)=4b$. Por lo tanto, $b=-\dfrac 1 4$. Así, el polinomio queda:
$$P(x)=(x-2)^2\left (ax-\dfrac 1 4\right )$$ y el término principal de $P(x)$ viene de multiplicar $x^2$ que nos da el producto notable con $ax$. Luego, el coeficiente principal de $P(x)$ es $a$ y como tiene que ser dos, pues $a=2$.

Ejercicio 2. Sabiendo que $2$, $3$ y $-1$ son ceros de un polinomio de tercer grado y que el coeficiente del término de mayor grado es 5, escribir el polinomio. 

Solución:
 Este ejercicio es fácil. Lo único que tenemos que usar es el teorema del factor. Como $2$, $3$ y $-1$ son ceros del polinomio, llamémosle $P(x)$, entonces es lo mismo que decir, que $2$, $3$ y $-1$ son raíces de $P(x)$. Así que usando, en tres ocasiones, el teorema del factor, tenemos que $P(x)=a(x-1)(x-3)(x+1)$ donde $a$ es un número real que no es más que el coeficiente principal de $P(x)$. Como nos dice que el coeficiente del término de mayor grado es 5 y dicho coeficiente es el coeficiente principal, entonces, $a=5$ y por tanto,
$$P(x)=5(x-2)(x-3)(x+1)$$
 

Ejercicio 3.  Calcula el valor de $a$ para que al dividir el polinomio $P(x)=x^3-ax+8$ por $x+2$, dé de resto 2.

Solución:

Para calcular el valor de $a$ solo tenemos que usar el teorema del resto. Como sabemos el resto de la división de $P(x):(x+2)$ es $P(-2)$(por el teorema) y por otro lado es 2, por tanto, $P(-2)=2$. Calculemos $P(-2)$:

$$P(-2)=(-2)^3-a\cdot (-2)+8=-8+2a+8=2a$$

Como $P(-2)=2$ se tiene que $2a=2$ luego $a=1$ y $P(x)=x^3-x+8$