Integral por partes polinomio por seno

Nos piden que resolvamos la integral indefinida $\displaystyle \int x\cdot \sin^2(x)\, dx$. Como se puede observar el integrando es una función que es producto de una función polinómica por otra trigonométrica. Hasta ahí bien, sin embargo, no hemos caído en la cuenta de que la función trigonométrica está elevada al cuadrado. Si nos disponemos a realizarla por partes, llamamos $u=x$, por tanto, $du=dx$ y $dv=\sin^2(x)\, dx$. Aquí, ya tenemos el primer problema al calcular $v$. ¿Cómo calculamos $v$? Pues, como he dicho en alguna otra entrada, siempre es preferible saber un poco más sobre las propiedades de las funciones trigonométricas.  Por ello, es importante saber que:

$\displaystyle \cos^2(x)=\dfrac{1+\cos(2x)}{2}\ \ \ ;\ \ \ \sin^2(x)=\dfrac{1-\cos(2x)}{2}$ 

Si utilizamos estas igualdades para calcular $v$, la integral indefinida se vuelve tediosa y más complicada de la que teníamos. Por ello, podemos aprovechar estas igualdades para sustituir en el integrando inicial. Así, la integral indefinida que tenemos que calcular se convierte en:

$\displaystyle \int x\sin^2(x)\, dx=\int x\left (\dfrac{1-\cos(2x)}{2}\right )\, dx=\dfrac 1 2\int x\, dx-\dfrac 1 2\int x\cos(2x)\, dx=\dfrac{\ x^2}{4}-\dfrac 1 2\overbrace{\int x\cos(2x)\, dx}^{I}$       (*)

Calculemos la expresión de $I$. En este caso, ya sí es producto de una función polinómica por una función trigonométrica deseada. Así, llamamos $u=x$, entonces $du=dx$ y $dv=\cos(2x)$, entonces, $v=\displaystyle \int \cos(2x)\, dx=\dfrac 1 2\sin(2x)$. De donde:

$\displaystyle I=\dfrac x 2\cdot \sin(2x)-\dfrac 1 2\int \sin(2x), dx=\dfrac x 2\cdot \sin(2x)+\dfrac 1 4 \cos(2x)+C$

siendo $C\in \mathbb R$ la constante de integración.  Sustituyendo la expresión de $I$ en (*) se tiene que:

$\displaystyle \int x\cdot \sin^2(x)\, dx=\dfrac{\ x^2}{4}-\dfrac 1 2 \cdot \left (\dfrac x 2\sin(2x)+\dfrac 1 4 \cos(2x)+C\right )=\dfrac{\ x^2}{4}-\dfrac x 4\sin(2x)-\dfrac 1 8 \cos(2x)+K$

donde $K=\dfrac C 2\in \mathbb R$ es la constante de integración.

Gmail y LaTeX una gran asociación

Pues sí, Gmail y LaTeX ya están asociados. Para mí ha sido una gran sorpresa y un gran conocimiento gracias a Manuel Maldonado que me lo comentó en un email. 

¿Y cómo puedo ver las fórmulas escritas en LaTeX? Pues primero y primordial, tener una cuenta de Gmail. Si no la tienes y quieres aprovecharte de este potencial, no dudes en hacerte una. 

Una vez que la tengas, pásate por aquí para ver qué tienes que hacer. 

Cualquier duda, mándame un email y lo explico gustosamente.

Función $\Gamma$ y $B$ de Euler

Nos piden que resolvamos las integrales $\displaystyle \int _0^1 x^3(1-x)^2\, dx$ y $\displaystyle \int _0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{\tan(x)}\, dx$ usando la función $\Gamma$ y $B$ de Euler. 

En primer lugar daré las definiciones y propiedades de cada una de ellas para poder resolver las anteriores integrales.

Matemáticas II. Andalucía. Curso 2010-2011. Opción A. Ejercicio 2.

Ejercicio 2. [2.5 puntos] Determina la función $f:(0,+\infty)\to \mathbb R$ tal que $f''(x)=\dfrac 1 x$ y su gráfica tiene tangente horizontal en el punto $P(1,1)$.

Ecuaciones irracionales

Una ecuación se dice que irracional cuando la incógnita $x$ se encuentra bajo un signo radical. por ejemplo, $\sqrt x-x=0$ o $\sqrt[3]{2x-1}-\sqrt x=x$. 

Supongamos que solo tenemos un radical de índice dos. Luego generalizaremos para el resto de radicales.

Para este tipo de ecuaciones debemos seguir los siguientes pasos. Para ello, iremos realizando un ejemplo para que se entienda poco a poco. 

Unicoos

Quiero agradecer también a otro profesor, David,  que está haciendo un trabajo envidiable y no tiene precio. Mis AGRADECIMIENTOS y FELICITACIONES  y desde aquí te digo que lo que necesites, estoy a tu disposición. Además es el creador de la página Unicoos, del grupo de Facebook(donde ayudo, en la medida de lo posible, resolviendo dudas) y del canal de Youtube. Además podéis seguir por Twitter. Creo que todos los enlaces deberíais tenerlos en favoritos. 

Sigue así y por favor no cambies. Un abrazo y gracias por todo.


Agradecimientos a D. Vicente González Valle

Antes de nada me gustaría pedir disculpas a todas las personas que estén siguiendo este blog por haber estado tanto tiempo sin escribir. El problema ha sido que empecé a trabajar en un centro nuevo y entre que me he adaptado, la carretera y la familia, apenas tengo tiempo para escribir todo lo que redacto a mano. Espero que poco a poco pueda empezar a publicar entradas de temas interesantes, ejercicios resueltos o teoría y poder ponerme al día.

Además de mis disculpas, me gustaría dar las gracias desde aquí a D. Vicente González Valle, profesor de IES que ha dedicado mucho tiempo, de forma altruista, en redactar un libro de ejercicios resueltos de PAEG de la Comunidad Autónoma de Extremadura de Matemáticas II. Además si visitáis su página, aparecen muchos recursos que no tienen desperdicio y que, desde aquí, os invito a que le echéis un vistazo.

El libro se encuentra aquí y la página principal se encuentra entre mis enlaces principales. 

Un saludo